状态空间设计基础笔记

数学模型

状态变量、输入/输出

状态空间方程是描述线性系统相互制约的关系的一种方式，其中主要有以下的三个变量

• 外部环境对系统的作用也即外部施加的激励，为系统的输入，一般用多维列向量表示
• 描述系统内部所处的行为或者运动信息的变量，为系统的状态量，一般用多维列向量表示
• 能够从外部直接测量到的系统对外部环境的作用，为系统的输出一般用多维列向量表示

三个变量中一般可获知的变量只有系统的输入和输出，系统内部的状态量一般不能直接测量得到。同一个系统可以存在不同状态量表示的形式，其变量不一定存在物理意义。但有效状态量的数量是可以确定的，由n阶微分方程所确定的系统内部状态量向量的维数也为n，即系统状态量最大线性无关元素的个数为n

状态空间表达式

系统状态方程用于描述上述三个向量之间的关系，一般连续状态的形式写为

其中，而离散状态的形式写为

对于同一个系统，其离散形式下的状态转移方程中的两个矩阵一般不相同，因此需要写成G,H以区分开来

标准型

系统状态方程写成以下几种形式容易分析，并且容易找到矩阵参数对应的物理意义

• 可控标准型
  
• 可观测标准型
  
• 对角线标准型
  

特性分析

时域求解

此处求解主要针对微分方程的求解，这里很容易可以和高等数学微分方程求解联系起来

• 齐次解
  也即系统的零输入响应的求解，求微分方程的解。当然直观一点的理解是，如果这个方程中的A和x不是矩阵和矢量，而是单维数值的话很容易就可以得到。而实际上矩阵微分方程的求解结果也是一样的，即，但在这里的指数定义是
  
  这种方法显然仅限于数值求解，更方便的方法是采用拉普拉斯变换求解，对方程求拉普拉斯变换可以得到
  
  一个十分微妙的结论在于矩阵A的特征值，即令的s值，即为其传递函数的极点，也就意味逆拉普拉斯逆变换的过程可以通过先求极点，再求对应的留数，最后用公式可求出时域解。

• 非齐次解
  也即包括输入的微分方程的解，令状态转移矩阵，则
  

系统性质

• 可控性
  系统完全可控说明存在一组输入控制使系统能从非零的内部状态转移至为零的状态，即输入的变量能够完全影响内部状态的变化。系统状态完全可控的充分必要条件为系统的状态可控性判别阵满秩，即
  
  除了状态可控外还有一个性质是输出可控，输出完全可控的充分必要条件是系统的输出可控性判别阵满秩，即
  
• 可观测性
  系统完全可观测说明存在一个有限时刻能够根据系统的输出在一段时间内唯一地确定系统状态向量的初值，即能够根据输出唯一确定系统内部状态的值。系统完全可观测的充分必要条件是系统的可观测性判别矩阵满秩，即
  
• 稳定性
  系统稳定性的定义同经典控制以及信号与系统里的概念一致，即对于任意有界控制输入，系统的响应总是有界的。理解起来就是输入有限输出不会达到无穷。
  • 传递函数极点判断
    这个判断依据应该是比较通用的，当系统的传递函数所有的极点都有负实部，即所有极点都位于s平面的左半平面时，系统是稳定的。有些时候求解传递函数的极点比较困难，因次衍生出其他的判别依据，通过判断极点是否都具有负的实部来判断系统是否稳定，常见的有劳斯-赫尔维茨判据，奈奎斯特判据等。
  • 李雅普诺夫稳定性判断
    李雅普诺夫稳定性判断不仅可以用于线性系统，还可以用于非线性或者时变的系统，故应用较为广泛。李雅普诺夫意义下的稳定可以认为是经典控制中的临界稳定（存在恰好落在虚轴上的极点）与稳定的并集，其定义简单来讲就是系统初始状态在平衡状态附近一定范围内，经过足够长的时间后系统状态在平衡状态附近有解。
    而经典控制中的稳定性在这里指的是渐近稳定性，具有渐近稳定性系统除了满足上面说的具有李雅普诺夫稳定性外，在足够长的时间后系统状态还能够收敛稳定状态。当然这里的渐近稳定性也是在一定范围内的，若初始状态覆盖到整个系统状态的空间内仍能满足渐近稳定，则称系统大范围（全局）渐近稳定
    上面这些概念比较抽象，其原因就在于它需要统一其他不是线性系统判断稳定性的定义。而对于实际具体判断有两种方法：
    第一种为李雅普诺夫第一法，其内容就是联系了矩阵A的特征值为传递函数的极点这一结论，用矩阵特征值判断系统是否为李雅普诺夫意义下的稳定和渐近稳定，适用于可列出系统状态方程的线性系统或者小范围线性化的非线性系统。
    而第二种也就是李雅普诺夫第二法，需要构造一个满足要求的表征系统能量的标量正定函数，判断其稳定性的依据简单一点的定义是，当系统能量能够不断衰减时，即负定时，可以认为系统是大范围渐近稳定的。对于线性系统，其能量可以取，其中P为选定的正定矩阵

形式变换

• 微分方程
  系统状态方程本质上就是线性微分方程组的矩阵形式，将矩阵乘法拆开来写即可还原原始的微分方程组。特殊一些的，微分方程整理可以写成一条的，可以将各n阶微分项写入一项，而n-1阶微分写入一项，最后得到的应该形如上述可控标准型的系统状态方程

• 传递函数
  将系统状态方程两边求拉普拉斯变换可得
  
  根据状态转移方程中的矩阵很容易可求出传递函数（矩阵）。如果是从传递函数转换为系统状态方程，可以参照微分方程的方法直接转换。在已知传递函数中各个系数的大小，可根据可控标准型直接写出状态方程
  

  设Z(s),使得
  
  令中第i个元素有则有：

另外一种方法是如果传递方程可以写成的形式，即该系统可以视为由多个独立的单极点子系统并联而成的，那么就可以用上述的对角线标准直接写出

• 离散化

  • z变换法
    z变换法实际上就是将连续的传递函数离散化后再按照上面相同的方法，根据z传递函数写出系统状态方程，同理也可以用差分方程组直接写出离散化的系统状态方程。
  • 零阶保持法
    设采样时间为T，由时域求解的方法可求得
    
    与方程比较，可得
    

• 线性变换
  前面提到，系统状态方程的表示不唯一，其本质在于表征系统状态量的向量不唯一，将状态向量进行线性变换之后又可以组成另一种表示该系统的系统状态方程的形式，系统本身特性不发生改变。设变换后的状态向量为，且,P为满秩方阵，则变换后的系统状态方程可以写为
  

  即改变状态量的结果是，可以通过矩阵P变换A,B,C三个矩阵。因此可以通过取一个合适的矩阵P将符合条件的系统变换为上面的提到标准型或者其他形式

  • 对角型规范变换
    数学上简单来讲就是把A矩阵对角化，前提是数学上矩阵A有n个对应的特征向量，或者说系统可分解多个独立的单极点子系统并联而成。其变换矩阵P可以表示为n个特征列向量组成的矩阵
    
  • 可控性规范变换
    对于完全可控的系统，可将方程进行可控性规范分解，变换矩阵P可表示为
    
    其中为可控性判别矩阵的逆矩阵的末行
  • 可观测性规范变换
    对于完全可控的系统，可将方程进行可控性规范分解，变换矩阵P可表示为
    
    其中为可观测性判别矩阵的逆矩阵的末行

理论应用

反馈设计

系统状态方程作为一种分析系统的工具，可帮助分析在引入反馈后系统的性能。常用的构造全状态的线性反馈为

设计矩阵K的方法这里介绍两种，即极点配置法和最优控制

• 极点配置法
  对于任意完全可控系统，通过上述反馈均能任意改变系统极点位置。将上述线性反馈代入系统状态方程得
  

  求矩阵得特征值即令的根，根据期望的系统极点即可求解矩阵K的值

• 最优控制
  最优控制将如何设计系统反馈矩阵的问题转化为一个数学上的最优化问题，即构造一个能够衡量控制性能指标的标量函数J通过最优化方法求解其取最小值的情况下u的取值。以常见的线性二次调节器(LQR)的设计为例，考虑一个线性二次指标
  
  其中Q,R为分别为人为给定的状态代价权重矩阵和输入代价权重矩阵，用于分别表征状态和输入的代价大小。矩阵K可求Riccati方程的解获得
  

状态观测器

控制系统设计中，构造状态反馈的几个状态通常不可能或者很难直接测量得到。因此另外一个任务是根据已知的系统输出估计系统的内部状态，这个过程就是状态观测器所要完成的任务。其基本思想是搭建一个上述系统状态模型的“影子”，根据系统输出再搭建一个反馈回路矫正观测到的内部状态，确保其与实际相符。当然能够进行状态观测的前提是系统完全可观测，若对于不可观测的状态观测器的工作是处于开环的状态，即无法矫正到实际的状态中，不能够保证观测器的准确性。这里主要提及以下两种观测器

• 全维状态观测器
  全维自然指的是观测到的状态维数等于系统本身的状态维数，用代表估计的状态量，构造一个与原系统一致的状态方程
  
  引入输出反馈，可得观测器的状态转移方程可以写为
  
  观测器的反馈同样可以采用极点配置法，即设定L矩阵的值使得A-LC的特征值（也即极点）均有负的实部，则状态观测器能够最终收敛至实际测量值上。极点距离s平面原点越远，观测器收敛至实际测量值越快。
  实际观测器的实现中，收敛得快与慢并不一定能够衡量出一个合适的设计，例如在测量中存在高斯噪声的情况中，这种情况可以使用Kalman滤波器，通过动态求解矩阵K得到一个统计最优的估计

• 降维状态观测器
  降维状态观测器则是将观测的变量减少了一部分。实际上若则可以直接由输出求解q个状态量，而剩下的(n-q)个状态量才需要观测器进行估计。降维状态观测器需要将系统状态方程变换至后，对于其余不可由输出得到的状态设计上述全维状态观测器即可

参考

《自动控制原理》- 胡寿松
Modern Control Systems - Richard C. Dorf,Robert H. Bishop
20. LQR控制器— 线性二次型调节器 Linear Quadratic Regulator